Дан куб ABCD A1 B1 C1 D1 Чему равен угол между плоскостями A1 D1 C и ABC

Чтобы найти угол между плоскостями \( A_1D_1C \) и \( ABC \) в кубе, можно воспользоваться векторами, перпендикулярными каждой из плоскостей.

1. Определение нормальных векторов плоскостей:

   • Плоскость \( ABC \) имеет вершины \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \). Для нахождения нормали этой плоскости можно взять векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \] Теперь находим нормальный вектор, например, с помощью векторного произведения: \[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, 0, 0) \times (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \] Таким образом, нормальный вектор для плоскости \( ABC \) равен \( \overrightarrow{n_1} = (0, 0, 1) \).

   • Плоскость \( A_1D_1C \) имеет точки \( A_1(0, 0, 1) \), \( D_1(0, 1, 1) \), \( C(1, 1, 0) \). Можно аналогично найти нормальный вектор: \[ \overrightarrow{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 1, 1) - (0, 0, 1) = (0, 1, 0) \] \[ \overrightarrow{A_1C} = C - A_1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1) \] Найдем нормальный вектор: \[ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1D_1} \times \overrightarrow{A_1C} = (0, 1, 0) \times (1, 1, -1) = (-1, 0, 1) \]

2. Нахождение угла между плоскостями:

   Угол \( \phi \) между плоскостями может быть найден с использованием косинуса угла между нормальными векторами: \[ \cos(\phi) = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \]

   Вычисляем скалярное произведение: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 0 \cdot -1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]

   Находим длины векторов: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

   Теперь можем подставить эти значения в формулу: \[ \cos(\phi) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \phi = 45^\circ \]

Таким образом, угол между плоскостями \( A_1D_1C \) и \( ABC \) равен \( 45^\circ \).