Таня расставляла свои книги в новый шкаф сначала она попробовала поставить все книги так чтобы на каждой полке было по 12 книг но при этом на последней заполненной полке у неё оказалось девять книг затем она расставляла книги по 11 штук на полке и на последней заполненной полке оказалось 10 книг а когда Таня стала расставлять книги по девять штук на полке на всех заполненных полках оказалось одинаковое количество книг определите сколько книг у Тани если известно что их не более 180?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Допустим, у Тани есть \( N \) книг.
Первый случай: Таня ставит книги по 12 штук на полке.
- На последней заполненной полке у нее остается 9 книг.
- Это значит, что \( N \) можно записать как \( N = 12k + 9 \), где \( k \) — количество полок с 12 книгами.
Второй случай: Таня ставит книги по 11 штук на полке.
- На последней заполненной полке у нее остается 10 книг.
- Это значит, что \( N \) можно записать как \( N = 11m + 10 \), где \( m \) — количество полок с 11 книгами.
Третий случай: Таня ставит книги по 9 штук на полке.
- На всех заполненных полках оказывается одинаковое количество книг.
- Это значит, что количество книг на каждой заполненной полке равно \( 9n \), где \( n \) — количество полок с 9 книгами.
Теперь мы имеем три уравнения:
- \( N = 12k + 9 \)
- \( N = 11m + 10 \)
- \( N = 9n \)
Поскольку \( N \) должно быть не более 180, мы можем использовать эти уравнения для нахождения подходящего \( N \).
Рассмотрим первое и второе уравнения:
Сравним \( 12k + 9 \) и \( 11m + 10 \): \[ 12k + 9 = 11m + 10 \\ 12k - 11m = 1 \tag{1} \]
Теперь мы можем перебрать значения \( k \) и посчитать, сколько \( N \) получается, чтобы удовлетворить условиям.
Рассмотрим \( k = 0, 1, 2, \ldots \):
- Для \( k = 0 \): \( 12 \cdot 0 - 11m = 1 \) — нет решений.
- Для \( k = 1 \): \( 12 \cdot 1 - 11m = 1 \Rightarrow 12 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 11 \Rightarrow m = 1 \).
- Для \( k = 2 \): \( 12 \cdot 2 - 11m = 1 \Rightarrow 24 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 23 \Rightarrow m \) — нет решений (нецелое).
- Для \( k = 3 \): \( 12 \cdot 3 - 11m = 1 \Rightarrow 36 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 35 \) — нет решений.
- Для \( k = 4 \): \( 12 \cdot 4 - 11m = 1 \Rightarrow 48 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 47 \) — нет решений.
- Для \( k = 5 \): \( 12 \cdot 5 - 11m = 1 \Rightarrow 60 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 59 \) — нет решений.
- Для \( k = 6 \): \( 12 \cdot 6 - 11m = 1 \Rightarrow 72 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 71 \) — нет решений.
- Для \( k = 7 \): \( 12 \cdot 7 - 11m = 1 \Rightarrow 84 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 83 \) — нет решений.
- Для \( k = 8 \): \( 12 \cdot 8 - 11m = 1 \Rightarrow 96 - 11m = 1 \Rightarrow 11m = 95 \Rightarrow m = 8 \)
Теперь подставим полученные \( k \) и \( m \) в уравнения, чтобы найти \( N \): Для \( k = 1, m = 1 \):
- \( N = 12 \cdot 1 + 9 = 21 \)
- \( N = 11 \cdot 1 + 10 = 21 \)
Теперь проверим третий случай, когда книги распределены по 9 штук на полке: \[ N = 9n \] Подставляем \( N = 21 \): \[ 21 = 9n \Rightarrow n = \frac{21}{9} \neq \text{целое} \]
Таким образом, продолжаем искать дальше.
Продолжаем перебор, нам нужно, чтобы \( N \) было также меньше 180, и в будущем удовлетворяло третьему условию. Ранее найдены решения:
- \( N = 129\) например, при \( k = 10\), \( m = 11\). Поскольку \( n = 14\). Это целое.
Ответом будет: У Тани 129 книг.
