На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС  — равнобедренный.

Давайте внимательно рассмотрим условие задачи и используя его, докажем, что треугольник \( ABC \) является равнобедренным.

У нас есть треугольник \( ABC \) с точками \( D \) и \( E \) на стороне \( AC \). Из условия задачи известно, что отрезки \( AD \) и \( CE \) равны, то есть \( AD = CE \), и также отрезки \( BD \) и \( BE \) равны, то есть \( BD = BE \).

Чтобы доказать, что треугольник \( ABC \) равнобедренный, мы должны показать, что \( AB = AC \).

1. Рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CBE \).

   • В этих треугольниках у нас есть:
     • \( AD = CE \) (по условию).
     • \( BD = BE \) (по условию).
     • Общая сторона \( AB \) и \( AC \) представляют собой стороны треугольников.

2. По критерию равенства треугольников \( AB \) и \( AC \) (сторона, угол, сторона — САС):

   • Углы \( \angle ADB \) и \( \angle CEB \) равны, так как они являются противолежащими углами.
   • Таким образом, треугольники \( ABD \) и \( CBE \) имеют две стороны равные и углы между ними также равны.

3. Из равенства треугольников \( ABD \) и \( CBE \) следует, что:

   • \( AB = AC \).

Таким образом, мы приходим к выводу, что треугольник \( ABC \) равнобедренный, поскольку его боковые стороны \( AB \) и \( AC \) равны.

Итак, доказано, что треугольник \( ABC \) является равнобедренным.