Найди наибольшее значение функции y = (21 - x)e^20-x на отрезке [19; 21]

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = (21 - x)e^{20-x} \) на отрезке \([19; 21]\), нужно сначала найти производную функции и определить критические точки.

1. Найдем производную функции \( y \): \[ y = (21 - x)e^{20 - x} \] Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = (21 - x)' \cdot e^{20-x} + (21 - x) \cdot (e^{20-x})' \] Производная первого множителя: \[ (21 - x)' = -1 \] Производная второго множителя: \[ (e^{20-x})' = -e^{20-x} \] Подставим в формулу: \[ y' = -e^{20-x} + (21 - x)(-e^{20-x}) = -e^{20-x} (1 + 21 - x) \] То есть: \[ y' = -e^{20-x} (22 - x) \]

2. Найдем критические точки: Поскольку \( e^{20-x} \) всегда положительно, нужно решить: \[ 22 - x = 0 \implies x = 22 \] Однако, \( x = 22 \) не принадлежит отрезку \([19; 21]\).

3. Теперь оценим функцию на границах отрезка:

   • Подставим \( x = 19 \): \[ y(19) = (21 - 19)e^{20 - 19} = 2e^{1} = 2e \]
   • Подставим \( x = 21 \): \[ y(21) = (21 - 21)e^{20 - 21} = 0 \]

4. Сравним значения на границах отрезка:

   • На \( x = 19: y(19) = 2e \)
   • На \( x = 21: y(21) = 0 \)

Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) на отрезке \([19; 21]\) достигается при \( x = 19 \) и равно \( 2e \).