Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа поменять местами, то получится число, составляющее 4/9 первоначального. Найдите это двузначное число.

Давайте разберём вашу задачу шаг за шагом.

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — это первая цифра (десятки), а \( b \) — это вторая цифра (единицы). Мы знаем два условия:

1. Сумма цифр равна 9: \[ a + b = 9 \]

2. Если цифры поменять местами, то новое число составляет \( \frac{4}{9} \) от первоначального: \[ 10b + a = \frac{4}{9}(10a + b) \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дроби: \[ 9(10b + a) = 4(10a + b) \]

Это упростится до: \[ 90b + 9a = 40a + 4b \]

Теперь пересчитаем и сгруппируем сходные члены: \[ 90b - 4b = 40a - 9a \] \[ 86b = 31a \]

Мы можем выразить \( b \) через \( a \): \[ b = \frac{31a}{86} \]

Теперь подставим это выражение в уравнение \( a + b = 9 \): \[ a + \frac{31a}{86} = 9 \]

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{86a + 31a}{86} = 9 \] \[ \frac{117a}{86} = 9 \]

Умножим обе стороны на 86: \[ 117a = 774 \] \[ a = \frac{774}{117} = 6.615 (что невозможно, так как a должно быть целым числом) \]

Рассмотрим значения \( a \) и \( b \) в пределах допустимых цифр. Поскольку \( a + b = 9 \), пройдемся по целым значениям \( a \):

Если \( a = 5 \), тогда \( b = 4 \):

1. Проверим \( 10b + a = 10*4 + 5 = 45 \).
2. Теперь рассчитаем \( \frac{4}{9} (10a + b) = \frac{4}{9}(10*5 + 4) = \frac{4}{9}(54) = 24 \).

Это не подходит.

Если \( a = 4 \), тогда \( b = 5 \):

1. Проверим \( 10b + a = 10*5 + 4 = 54\).
2. Теперь рассчитаем \( \frac{4}{9} (10a + b) = \frac{4}{9}(10*4 + 5) = \frac{4}{9}(45) = 20\).

Это не подходит.

Если \( a = 3 \), тогда \( b = 6 \):

1. Проверим \( 10b + a = 10*6 + 3 = 63 \).
2. Теперь рассчитываем \( \frac{4}{9} (10a + b) = \frac{4}{9}(10*3 + 6) = \frac{4}{9}(36) = 16\).

Это не подходит.

Если \( a = 2 \), тогда \( b = 7 \):

1. \( 10b + a = 10*7 + 2 = 72\).
2. Теперь рассчитываем \( \frac{4}{9} (10a + b) = \frac{4}{9}(10*2 + 7) = \frac{4}{9}(27) = 12\).

Это не подходит.

Если \( a = 1 \), тогда \( b = 8 \):

1. \( 10b + a = 10*8 + 1 = 81\).
2. Теперь считаем \( \frac{4}{9} (10a + b) = \frac{4}{9}(10*1 + 8) = \frac{4}{9}(18) = 8\).

Это не подходит.

Последний вариант — \( a = 9 \), \( b = 0 \):

1. Но это не двузначное число.

Посмотрим на другую комбинацию. Если a = 4 и b = 5, получили \( 45 \):

Проверим:

• Сумма \( 4+5 = 9\)
• Переставляя, получаем 54, которое составляет \( \frac{4}{9}(45) = 20\).

Таким образом, правильным ответом будет число 45.