На столе лежали конфеты. Прибежала Таня и взяла пятую часть конфет. Затем прибежал Миша, взял половину и ещещ одну конфету. После пришла мама и выпила чай с двумя конфетами. В…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим изначальное количество конфет в вазе как \( x \).

2. Таня взяла пятую часть конфет, то есть \( \frac{x}{5} \). После этого в вазе осталось \( x - \frac{x}{5} = \frac{4x}{5} \) конфет.

3. Затем пришёл Миша и взял половину оставшихся конфет, то есть \( \frac{1}{2} \times \frac{4x}{5} = \frac{2x}{5} \). После этого в вазе осталось \( \frac{4x}{5} - \frac{2x}{5} = \frac{2x}{5} \) конфет. Миша также взял одну конфету, поэтому теперь осталось \( \frac{2x}{5} - 1 \) конфеты.

4. Затем мама выпила чай с двумя конфетами, значит после её прихода в вазе осталось \( \frac{2x}{5} - 1 - 2 = \frac{2x}{5} - 3 \) конфеты.

5. По условию задачи после всех этих действий в вазе осталось 21 конфета: \[ \frac{2x}{5} - 3 = 21 \]

6. Теперь решим уравнение: \[ \frac{2x}{5} = 21 + 3 \] \[ \frac{2x}{5} = 24 \]

7. Умножим обе стороны уравнения на 5: \[ 2x = 120 \]

8. Разделим обе стороны на 2: \[ x = 60 \]

Таким образом, изначально в вазе было 60 конфет.