Сколькими способами можно покрасить ячейки квадрата 3×3 в 2 цвета. Раскраски, совмещаемые поворотом, считаются одинаковыми.
Чтобы решить задачу о том, сколько существует способов покрасить ячейки квадрата 3×3 в 2 цвета с учетом вращений, можно использовать метод группировки по симметрии. В данном случае мы будем применять теорему Бёрнсайда для подсчета числа уникальных раскрасок.
Определим количество всех возможных раскрасок без учета симметрии. Каждая из 9 ячеек может быть окрашена в один из 2 цветов, что означает \(2^9 = 512\) способов покраски.
Теперь определим симметрии квадрата 3×3. У него есть 4_rotation (0°, 90°, 180°, и 270°).
Подсчитаем количество раскрасок, которые остаются неизменными при каждом из этих поворотов:
- Поворот на 0°: Все 512 раскрасок.
- Поворот на 90°: Для сохранения раскраски на месте каждая ячейка должна быть одинакового цвета с теми, которые находились на её месте до поворота. Это возможно только в случае, если все ячейки одного цвета. То есть, есть 2 раскраски (все ячейки одного цвета).
- Поворот на 180°: Ячейки на противоположных местах (всего 4 пары) должны быть одинакового цвета. Мы можем выбрать 2 цвета для каждой пары, что дает \(2^4 = 16\) раскрасок.
- Поворот на 270°: Аналогично повороту на 90°, будет 2 раскраски.
Теперь по формуле Бёрнсайда мы суммируем количество фиксированных раскрасок и делим на количество симметрий:
\[ \text{Число уникальных раскрасок} = \frac{1}{4} (512 + 2 + 16 + 2) = \frac{532}{4} = 133 \]
Таким образом, количество уникальных способов покрасить ячейки квадрата 3×3 в 2 цвета, принимая во внимание повороты, равно 133.
