Тело, брошенное вертикально вниз, за последние 2 секунды прошло путь вдвое больший, чем за предыдущие. Определить время падения и высоту. Построить графики.
Рассмотрим задачу о вертикальном падении тела, брошенного вниз, с учетом ускорения свободного падения \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \).
Обозначим время падения как \( t \) секунд. За последние 2 секунды (от \( t-2 \) до \( t \)) тело прошло путь, который обозначим как \( S_2 \), и он вдвое больше, чем путь, который оно прошло до этого (от начала до \( t-2 \)), обозначим этот путь как \( S_1 \).
1. Определение путей
По формуле движения с постоянным ускорением: \[ S = S_0 + V_0 t + \frac{1}{2} g t^2 \]
Для нашего случая, начальная скорость \( V_0 = 0 \) (если тело начинает движение только в момент брошенного падения): \[ S(t) = \frac{1}{2} g t^2 \]
Теперь найдем путь \( S_2 \): \[ S(t) = \frac{1}{2} g t^2 \] \[ S(t-2) = \frac{1}{2} g (t-2)^2 \] Тогда путь за последние 2 секунды будет: \[ S_2 = S(t) - S(t-2) = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2 \] Раскроем скобки: \[ S_2 = \frac{1}{2} g [t^2 - (t^2 - 4t + 4)] = \frac{1}{2} g [4t - 4] = 2g(t - 1) \]
Теперь найдем путь \( S_1 \): \[ S_1 = S(t-2) = \frac{1}{2} g (t-2)^2 = \frac{1}{2} g (t^2 - 4t + 4) = \frac{1}{2} g t^2 - 2gt + 2g \]
2. Условие задачи
Согласно условию, имеем: \[ S_2 = 2 S_1 \] Подставим найденные выражения: \[ 2g(t - 1) = 2 \left( \frac{1}{2} g t^2 - 2gt + 2g \right) \] Упростим: \[ 2g(t - 1) = g t^2 - 4gt + 4g \] Разделим обе стороны на \( g \): \[ 2(t - 1) = t^2 - 4t + 4 \] Преобразуем уравнение: \[ 0 = t^2 - 6t + 6 \]
3. Решение квадратного уравнения
Решим это квадратное уравнение: \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \] Отрицательное значение времени не имеет смысла, поэтому оставим только положительное: \[ t = 3 + \sqrt{3} \quad (\text{около } 4.73 \text{ секунд}) \]
4. Высота падения
Теперь найдем высоту \( S(t) \): \[ S = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (3 + \sqrt{3})^2 \] Подсчитаем высоту: \[ S \approx \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (4.73^2) \approx 0.5 \cdot 9.81 \cdot 22.3 \approx 109.5 \, \text{м} \]
5. Графики
Графики можно построить с помощью программного обеспечения, например, MATLAB или Python (Matplotlib). На графике можно отложить время по оси \( x \) и высоту по оси \( y \), чтобы увидеть зависимость подъема от времени.
Высота в зависимости от времени: \[ h(t) = \frac{1}{2} g t^2 \]
Вычислить значения для времени от 0 до \( t \) (например, от 0 до 5 секунд) и построить график.
Если у вас есть доступ к программному обеспечению, я могу помочь с кодом для их построения.
