5/y-2 - 4/y-3 =1/y
Чтобы решить уравнение \( \frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y} \), давайте начнем с поиска общего знаменателя для дробей.
Общий знаменатель для дробей \( y-2 \), \( y-3 \) и \( y \) будет равен \( y(y-2)(y-3) \).
Умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель:
\[ y(y-2)(y-3) \left(\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3}\right) = y(y-2)(y-3) \left(\frac{1}{y}\right) \]
- Раскроем скобки:
\[ 5y(y-3) - 4y(y-2) = (y-2)(y-3) \]
- Упрощаем обе части:
- \( 5y(y-3) = 5y^2 - 15y \)
- \( -4y(y-2) = -4y^2 + 8y \)
- \( (y-2)(y-3) = y^2 - 5y + 6 \)
Теперь у нас есть:
\[ 5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 5y + 6 \]
- Объединим все в одну сторону:
\[ (5y^2 - 4y^2) + (-15y + 8y + 5y) - 6 = 0 \]
Это упрощает до:
\[ y^2 - 2y - 6 = 0 \]
- Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -2, c = -6 \).
Подставим значения:
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ y = 1 \pm \sqrt{7} \]
Таким образом, у нас два возможных решения:
\[ y = 1 + \sqrt{7} \quad \text{или} \quad y = 1 - \sqrt{7} \]
Теперь вы можете подставить полученные значения обратно в уравнение, чтобы проверить, подходят ли они. Если есть еще вопросы по этому материалу или другим темам, не стесняйтесь задавать!
