X*2+x-30<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + x - 30 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + x - 30 = 0 \).
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -30 \)
Теперь подставим значения в формулу:
- Сначала находим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]
- Теперь находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 11}{2} \]
Это дает два корня:
\[ x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -6 \).
Следующий шаг — определить, на каких интервалах функция \( f(x) = x^2 + x - 30 \) меньше нуля. Мы рассмотрим интервалы, созданные корнями:
- \( (-\infty, -6) \)
- \( (-6, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Теперь выбираем тестовые точки из каждого интервала для проверки знака функции:
Для интервала \( (-\infty, -6) \) возьмем, например, \( x = -7 \): \[ f(-7) = (-7)^2 + (-7) - 30 = 49 - 7 - 30 = 12 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \( (-6, 5) \) возьмем \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 + 0 - 30 = -30 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (5, +\infty) \) возьмем \( x = 6 \): \[ f(6) = 6^2 + 6 - 30 = 36 + 6 - 30 = 12 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, функция \( f(x) < 0 \) на интервале \( (-6, 5) \).
Итак, ответ на неравенство \( x^2 + x - 30 < 0 \) — это интервал:
\[ x \in (-6, 5) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим учебным материалам, не стесняйтесь спрашивать!
