y=x3-5x
Привет! Давай решим задачи вместе. Нам нужно найти производные указанных функций. Я покажу, как это делается на примере каждой функции.
- \( y = x^3 - 5x \) Чтобы найти производную, воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:
- Производная от \( x^n \) равна \( n \cdot x^{(n-1)} \).
- Производная от \( a \cdot x \) равна \( a \).
Таким образом: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(5x) \] \[ y' = 3x^2 - 5 \]
\( y = 25x^2 + \sqrt{x} \) \[ y' = \frac{d}{dx}(25x^2) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \] \[ y' = 50x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
\( y = e^x + 6x - x^2 \) \[ y' = \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(6x) - \frac{d}{dx}(x^2) \] \[ y' = e^x + 6 - 2x \]
\( y = 5 \cos x + 7x \) \[ y' = \frac{d}{dx}(5 \cos x) + \frac{d}{dx}(7x) \] \[ y' = -5 \sin x + 7 \]
\( y = x^{\frac{1}{2}} 4x^{-3} \) Предполагаю, что началось форматирование как \( x^{2.5} - x^{-3} \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{2.5}) - \frac{d}{dx}(x^{-3}) \] \[ y' = 2.5 x^{1.5} + 3x^{-4} \]
\( y = (2x + 5) (3x^2) \) Применим правило произведения: \[ y' = (2x + 5)' \cdot (3x^2) + (2x + 5) \cdot (3x^2)' \] \[ y' = 2 \cdot 3x^2 + (2x + 5) \cdot 6x \] \[ y' = 6x^2 + (2x + 5) \cdot 6x \] \[ y' = 6x^2 + 12x^2 + 30x \] \[ y' = 18x^2 + 30x \]
\( y = \log x \cdot (4x + 3) \) Применим принцип произведения: \[ y' = (\log x)' \cdot (4x + 3) + \log x \cdot (4x + 3)' \] \[ y' = \frac{1}{x} (4x + 3) + \log x \cdot 4 \] \[ y' = 4 + \frac{3}{x} + 4\log x \]
\( y = \frac{\sin x}{x} \) Используем правило производной функции: \[ y' = (\frac{\sin x}{x})' \] \[ y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} \] \[ y' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} \] \[ y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \]
\( y = \frac{1}{x} \) Просто: \[ y' = - \frac{1}{x^2} \]
\( y = \frac{3x + 5}{2x - 1} \) Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(3x + 5)' \cdot (2x - 1) - (3x + 5) \cdot (2x + 1)'}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{3 \cdot (2x - 1) - (3x + 5) \cdot 2}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{6x - 3 - 6x - 10}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-13}{(2x - 1)^2} \]
\( y = \frac{3x^2}{2x + 3} \) \[ y' = \frac{(2x + 3)(6x) - (3x^2) \cdot 2}{(2x + 3)^2} \] \[ y' = \frac{12x^2 + 18x - 6x^2}{(2x + 3)^2} \] \[ y' = \frac{6x^2 + 18x}{(2x + 3)^2} \]
\( y = \frac{\sin x}{x^2} \) Для этого нужно правило частной производной: \[ y' = \frac{(\sin x) \cdot (x^{-2})' - (\sin x)' \cdot (x^{-2})}{(x^2)^2} \] \[ y' = \frac{\sin x \cdot (-2 x^{-3}) - x^{-2} \cdot \cos x}{x^4} \] \[ y' = -2x^{-3} \sin x - x^{-2} \cos x \] \[ y' = \frac{-2\sin x - x \cos x}{x^3}\]
Надеюсь, это поможет! Если есть еще вопросы, обращайся!
