1)у=3х²-х³ 2)у=2х²-х⁴ Критерии оценивания: -найти область определения функции -найти область значение функции -определить переодичность функции -найти асимптоты функции -найти…

Давайте подробно разберем оба уравнения по указанным критериям.

1) Уравнение: \( y = 3x^2 - x^3 \)

Область определения функции

Функция \( y = 3x^2 - x^3 \) является многочленом, и многочлены определены для всех действительных чисел. Область определения: \( D: (-\infty; +\infty) \).

Область значений функции

Чтобы определить область значений, необходимо найти критические точки и значения функции в этих точках.

Критические точки

Для нахождения критических точек найдем производную: \[ y' = 6x - 3x^2 \] Приравняем производную к нулю: \[ 6x - 3x^2 = 0 \] Факторизуем: \[ 3x(2 - x) = 0 \] Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Значения функции в критических точках

• \( y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \)
• \( y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4 \)

Теперь посмотрим на поведение функции на интервалах:

• При \( x < 0 \) функция убывает (производная положительна)
• При \( 0 < x < 2 \) функция возрастает
• При \( x > 2 \) функция убывает

Таким образом, максимальное значение функции \( y = 4 \) при \( x = 2 \), а минимальное значение \( y = 0 \) при \( x = 0 \). Область значений: \( W: [0; 4] \).

Периодичность функции

Функция не является периодической.

Асимптоты функции

У данной функции нет асимптот, так как это конечный многочлен.

Промежутки возрастания/убывания функции

• Функция возрастает на интервале \( (0; 2) \)
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (2; +\infty) \)

Точки экстремума функции

• Минимум при \( x = 0 \): \( y(0) = 0 \)
• Максимум при \( x = 2 \): \( y(2) = 4 \)

2) Уравнение: \( y = 2x^2 - x^4 \)

Область определения функции

Как и в первом случае, данное уравнение представляет собой многочлен. Область определения: \( D: (-\infty; +\infty) \).

Область значений функции

Для определения области значений найдем критические точки.

Критические точки

Найдём производную: \[ y' = 4x - 4x^3 \] Приравняем к нулю: \[ 4x(1 - x^2) = 0 \] Таким образом, критические точки: \( x = 0, x = 1, x = -1 \).

Значения функции в критических точках

• \( y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0 \)
• \( y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1 \)
• \( y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1 \)

Теперь изучим интервалы:

• При \( x < -1 \) и \( x > 1 \) функция убывает;
• При \( -1 < x < 0 \) и \( 0 < x < 1 \) функция возрастает.

Таким образом, максимальное значение функции \( y = 1 \) при \( x = 1 \) и \( x = -1 \), минимальное \( y = 0 \) при \( x = 0 \). Область значений: \( W: [0; 1] \).

Периодичность функции

Функция не является периодической.

Асимптоты функции

У данной функции также нет асимптот, так как это конечный многочлен.

Промежутки возрастания/убывания функции

• Функция возрастает на интервалах \( (-1; 0) \) и \( (0; 1) \)
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (1; +\infty) \)

Точки экстремума функции

• Минимум при \( x = 0 \): \( y(0) = 0 \)
• Максимум при \( x = -1 \) и \( x = 1 \): \( y(-1) = y(1) = 1 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны объяснения других тем, не стесняйтесь задавать их!