а) у4-24у2-25=0
Чтобы решить уравнение \( у^4 - 24у^2 - 25 = 0 \), давайте сначала сделаем замену переменной. Обозначим \( z = у^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ z^2 - 24z - 25 = 0. \]
Теперь мы имеем квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 1 \), \( b = -24 \) и \( c = -25 \). Подставим значения:
\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676. \]
Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим найденные значения:
\[ z = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm 26}{2}. \]
Теперь найдем два корня:
- \( z_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25, \)
- \( z_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \)
Так как \( z = у^2 \), мы находим корни для \( y \):
Для \( z_1 = 25 \): \( у^2 = 25 \) ⇒ \( у = 5 \) или \( у = -5 \).
Для \( z_2 = -1 \): Здесь нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Таким образом, окончательные решения для уравнения \( у^4 - 24у^2 - 25 = 0 \) будут:
\( у = 5 \) и \( у = -5 \).
