Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_{0} 1) y = 1 - (2x + 1)/(x - 1) x_{0} = 2 2) y = 3 + x/(x + 1) + sqrt(3 - x)…

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x_0 \), нам нужно вычислить производную функции в данной точке.

Задание 1

Функция:
\[ y = 1 - \frac{2x + 1}{x - 1} \]

Сначала упростим выражение. Найдем общее выражение:

1. \( y = 1 - \frac{2x + 1}{x - 1} \)
   \[ = 1 - \left( \frac{2x + 1}{x - 1} \right) \]
   \[ = \frac{(x - 1) - (2x + 1)}{x - 1} \]
   \[ = \frac{x - 1 - 2x - 1}{x - 1} = \frac{-x - 2}{x - 1} \]
   \[ = -\frac{x + 2}{x - 1} \]

Теперь найдем производную \( y' \):

Используя правило деления: \[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \] где \( u = -(x + 2) \) и \( v = x - 1 \).

Вычислим производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = -1 \)
• \( v' = 1 \)

Теперь подставим: \[ y' = \frac{(-1)(x - 1) - (-(x + 2))(1)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{-(x - 1) + (x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{-x + 1 + x + 2}{(x - 1)^2} = \frac{3}{(x - 1)^2} \]

Теперь находим значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \[ y'(2) = \frac{3}{(2 - 1)^2} = \frac{3}{1} = 3 \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 2 \) равен \( 3 \).

Задание 2

Функция:
\[ y = 3 + \frac{x}{x + 1} + \sqrt{3 - x} \]

Найдем производную функции \( y \):

1. Первая часть: \( y_1 = 3 + \frac{x}{x + 1} \)
   Производная этой части:
   \[ y_1' = \frac{(1)(x + 1) - x(1)}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1 - x)}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \]

2. Вторая часть: \( y_2 = \sqrt{3 - x} \)
   Производная этой части:
   \[ y_2' = \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}} \]

Теперь суммируем производные: \[ y' = y_1' + y_2' = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \]

Теперь находим значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \[ y'(2) = \frac{1}{(2 + 1)^2} - \frac{1}{2\sqrt{3 - 2}} \] \[ = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \] \[ = \frac{1}{9} - \frac{4.5}{9} = -\frac{3.5}{9} = -\frac{7}{18} \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = 2 \) равен \( -\frac{7}{18} \).

Ответ

Для первой функции: угловой коэффициент касательной равен \( 3 \).
Для второй функции: угловой коэффициент касательной равен \( -\frac{7}{18} \).