Înălțimea unui romb este egală cu 12 cm, iar dia- gonala mică are 15 cm. Calculați aria rombului. Rezolvare

Чтобы найти площадь ромба, можно использовать следующую формулу:

\[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]

где \(S\) — площадь ромба, \(d_1\) — длина одной диагонали, а \(d_2\) — длина другой диагонали.

В вашем случае известно, что высота ромба \(h = 12 \, cm\) и короткая диагональ \(d_1 = 15 \, cm\). Сначала нам нужно найти длину второй диагонали \(d_2\).

Мы можем выразить площадь ромба также через его основание и высоту:

\[ S = a \times h \]

где \(a\) — длина стороны ромба. Поскольку каждая диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника, можно использовать связь между диагоналями и стороной ромба.

Сначала найдём длину стороны ромба \(a\):

Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим короткую диагональ \(d_1 = 15 \, cm\) и длинную диагональ \(d_2\).

Полуразмер диа-граммы \(d_1\) равен:

\[ \frac{d_1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm \]

Высота \(h\) и полуразмер длинной диагонали \(d_2\) (обозначим её \( \frac{d_2}{2} \)) образуют прямоугольный треугольник со стороной ромба. По теореме Пифагора имеем:

\[ a^2 = h^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 \]

\[ a^2 = 12^2 + 7.5^2 \]

\[ a^2 = 144 + 56.25 = 200.25 \]

\[ a = \sqrt{200.25} \approx 14.14 \, cm \]

Теперь вернемся к второй диагонали. Площадь также может быть выражена как:

\[ S = a \times h = 14.14 \times 12 = 169.68 \, cm^2 \]

Можно проверить это также через диагонали. Воспользуемся тем, что \(S = \frac{d_1 \times d_2}{2}\):

Также можем выражать:

\[ S = \frac{15 \times d_2}{2} \]

Теперь приравняем два выражения для площади:

\[ 14.14 \times 12 = \frac{15 \times d_2}{2} \]

\[ 169.68 = \frac{15 \times d_2}{2} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 339.36 = 15 \times d_2 \]

Делим на 15:

\[ d_2 \approx 22.62 \, cm \]

Теперь мы знаем все величины, и можем подтвердить, что площадь ромба составляет:

\[ S \approx 169.68 \, cm^2 \]

Итак, площадь ромба равна примерно \(169.68 \, cm^2\).