Найдите коэффициенты 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 a,b,c в уравнении прямой 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек 𝐴 (2; 2) и 𝐵 (7; 4).
Чтобы найти коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнении прямой \(ax + by + c = 0\), которая располагается на равном расстоянии от точек \(A(2, 2)\) и \(B(7, 4)\), нам нужно определить перпендикулярную биссектрису отрезка \(AB\).
Найдите среднюю точку \(M\) отрезка \(AB\): \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + 7}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, 3 \right) \]
Найдите угловой коэффициент \(k\) отрезка \(AB\): Угловой коэффициент \(k\) определяется как: \[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 2}{7 - 2} = \frac{2}{5} \]
Найдите угловой коэффициент перпендикулярной линии: Перпендикулярный угловой коэффициент \(k_\perp\) равен отрицательной обратной величине: \[ k_\perp = -\frac{1}{k} = -\frac{5}{2} \]
Запишите уравнение прямой, проходящей через точку \(M\) с угловым коэффициентом \(k_\perp\): Уравнение прямой в точечной форме выглядит так: \[ y - y_M = k_\perp (x - x_M) \] Подставляем значения: \[ y - 3 = -\frac{5}{2} \left( x - \frac{9}{2} \right) \] Упрощаем уравнение: \[ y - 3 = -\frac{5}{2}x + \frac{45}{4} \] \[ y = -\frac{5}{2}x + \frac{45}{4} + 3 \] Переводим \(3\) в четвертые доли: \[ 3 = \frac{12}{4} \implies y = -\frac{5}{2}x + \frac{57}{4} \]
Приведите уравнение в стандартный вид: Умножим всё на \(4\) (чтобы избавиться от дробей): \[ 4y = -10x + 57 \] Переносим все на одну сторону: \[ 10x + 4y - 57 = 0 \]
Теперь у нас есть уравнение прямой в стандартном виде, где:
- \(a = 10\)
- \(b = 4\)
- \(c = -57\)
Таким образом, искомые коэффициенты: \[ a = 10, \quad b = 4, \quad c = -57 \]
