tg²альфа-sin²альфа-tg²альфа×sin²альфа
Чтобы решить выражение \( \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \tan^2 \alpha \times \sin^2 \alpha \), давайте сначала разберем его шаг за шагом.
Замены:
- Напомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
- Следовательно: \[ \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]
Подстановка тангенса: Теперь как только мы выразили \( \tan^2 \alpha \), подставим это в наше выражение: \[ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \tan^2 \alpha \times \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \times \sin^2 \alpha \]
Упрощение: Первое слагаемое \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) можно оставить как есть, второе слагаемое становится \(-\sin^2 \alpha\), а третье можно упростить как: \[ -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Таким образом, мы получаем: \[ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha - \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]
Упрощение числителя: Объединим слагаемые в числителе: \[ \sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \] По тригонометрической тождеству \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\): \[ \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \sin^2 \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha) \]
Итоговое выражение: Теперь можем записать окончательное выражение: \[ \frac{\sin^2 \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} \] Это также можно выразить через тангенс: \[ \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha) \]
Таким образом, итоговое упрощение выражается как: \[ \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha (1 - 2\sin^2 \alpha) \] Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какую-то часть подробнее, пожалуйста, дайте знать!
