Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 1,5(23)

Чтобы записать бесконечную десятичную периодическую дробь \(1,5\overline{23}\) в виде обыкновенной дроби, следуем следующим шагам.

1. Обозначим \(x = 1,5\overline{23}\). Это означает, что дробь \(x\) равна \(1,52323232...\).

2. Удобнее работать, если отделить целую часть. Мы можем записать это так: \[ x = 1,5 + 0,0\overline{23} \]

3. Теперь сосредоточим внимание на периодической части \(0,0\overline{23}\). Обозначим её как \(y\): \[ y = 0,0\overline{23} \]

4. Умножим \(y\) на 100 (так как период состоит из двух цифр), чтобы сместить запятую: \[ 100y = 2,3\overline{23} \]

5. Теперь вычтем \(y\) из \(100y\): \[ 100y - y = 2,3\overline{23} - 0,0\overline{23} \] \[ 99y = 2,3 \]

6. Теперь можем выразить \(y\): \[ y = \frac{2,3}{99} \]

7. Упростим дробь \(\frac{2,3}{99}\). Преобразуем \(2,3\) в обыкновенную дробь: \[ 2,3 = \frac{23}{10} \] Следовательно, \[ y = \frac{23}{10 \cdot 99} = \frac{23}{990} \]

8. Теперь вернемся к \(x\): \[ x = 1,5 + y = 1,5 + \frac{23}{990} \]

9. Записываем \(1,5\) как обыкновенную дробь: \[ 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \]

10. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для \(2\) и \(990\) — \(1980\).

    Приведем \(\frac{3}{2}\): \[ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 990}{2 \cdot 990} = \frac{2970}{1980} \]

11. Теперь \(y\) в таком же виде: \[ \frac{23}{990} = \frac{23 \cdot 2}{990 \cdot 2} = \frac{46}{1980} \]

12. Теперь подведем итог и сложим эти дроби: \[ x = \frac{2970}{1980} + \frac{46}{1980} = \frac{2970 + 46}{1980} = \frac{3016}{1980} \]

13. Упростим дробь: Находим общий делитель (например, 4): \[ \frac{3016 \div 4}{1980 \div 4} = \frac{754}{495} \]

Таким образом, итоговая дробь в обыкновенном виде для \(1,5\overline{23}\) будет: \[ \frac{754}{495} \]