105⁶

Чтобы вычислить \(105^6\), мы можем использовать свойства степеней для упрощения расчётов.

1. Для начала, можно считать \(105\) как \(100 + 5\). Затем применяем биномиальную формулу: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] где \(a = 100\), \(b = 5\), и \(n = 6\).

2. Применяем формулу: \[ (100 + 5)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} 100^{6-k} 5^k \]

3. Теперь рассчитаем каждый член суммы.

   • Когда \(k = 0\): \(\binom{6}{0} \cdot 100^6 \cdot 5^0 = 1 \cdot 100000000 \cdot 1 = 100000000\)
   • Когда \(k = 1\): \(\binom{6}{1} \cdot 100^5 \cdot 5^1 = 6 \cdot 10000000 \cdot 5 = 300000000\)
   • Когда \(k = 2\): \(\binom{6}{2} \cdot 100^4 \cdot 5^2 = 15 \cdot 1000000 \cdot 25 = 375000000\)
   • Когда \(k = 3\): \(\binom{6}{3} \cdot 100^3 \cdot 5^3 = 20 \cdot 100000 \cdot 125 = 250000000\)
   • Когда \(k = 4\): \(\binom{6}{4} \cdot 100^2 \cdot 5^4 = 15 \cdot 10000 \cdot 625 = 93750000\)
   • Когда \(k = 5\): \(\binom{6}{5} \cdot 100^1 \cdot 5^5 = 6 \cdot 100 \cdot 3125 = 1875000\)
   • Когда \(k = 6\): \(\binom{6}{6} \cdot 100^0 \cdot 5^6 = 1 \cdot 1 \cdot 15625 = 15625\)

4. Складываем все результаты: \[ 100000000 + 300000000 + 375000000 + 250000000 + 93750000 + 1875000 + 15625 \]

   Когда вы выполните эти действия, вы получите результат: \[ 105^6 = 1, 033, 579, 600, 000 \]

Таким образом, \(105^6 = 1,033,579,600,000\).