Х²+2х-15<0

Для решения неравенства \(x^2 + 2x - 15 < 0\) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 15 = 0\).

1. Найдем дискриминант:

   Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -15\): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

2. Находим корни уравнения:

   Корни можно найти с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

   Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -5\).

3. Определим интервалы:

   У нас есть три интервала для проверки: \((- \infty, -5)\), \((-5, 3)\), \((3, +\infty)\).

4. Проверим знак выражения на каждом интервале:

   • Для интервала \((- \infty, -5)\), например, возьмем \(x = -6\): \[ (-6)^2 + 2(-6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0 \]

   • Для интервала \((-5, 3)\), например, возьмем \(x = 0\): \[ 0^2 + 2(0) - 15 = -15 < 0 \]

   • Для интервала \((3, +\infty)\), например, возьмем \(x = 4\): \[ 4^2 + 2(4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0 \]

5. Вывод:

   Наша функция меньше нуля в интервале \((-5, 3)\).

Итак, решением неравенства \(x^2 + 2x - 15 < 0\) будет: \[ -5 < x < 3 \]