(4+2i)³

Чтобы вычислить \((4 + 2i)^3\), мы воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая для \((a + b)^n\) выглядит следующим образом:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]

где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, а \(a = 4\), \(b = 2i\) и \(n = 3\).

В нашем случае:

\[ (4 + 2i)^3 = \sum_{k=0}^{3} C(3, k) (4)^{3-k} (2i)^k \]

Теперь мы посчитаем каждый из членов:

1. При \(k = 0\): \[ C(3, 0) \cdot 4^3 \cdot (2i)^0 = 1 \cdot 64 \cdot 1 = 64 \]

2. При \(k = 1\): \[ C(3, 1) \cdot 4^2 \cdot (2i)^1 = 3 \cdot 16 \cdot 2i = 96i \]

3. При \(k = 2\): \[ C(3, 2) \cdot 4^1 \cdot (2i)^2 = 3 \cdot 4 \cdot (2i)^2 = 3 \cdot 4 \cdot -4 = -48 \]

4. При \(k = 3\): \[ C(3, 3) \cdot 4^0 \cdot (2i)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 8i^3 = 1 \cdot 1 \cdot -8i = -8i \]

Теперь мы можем сложить все эти результаты:

\[ 64 + 96i - 48 - 8i = (64 - 48) + (96i - 8i) = 16 + 88i \]

Таким образом, \((4 + 2i)^3 = 16 + 88i\).