Найдите член, не содержащий х, и член, содержащий в наибльшей степени, после произведения выражения к многочлену стандартного вида (2х-3)³(х²+1)⁴

Для того чтобы найти член, не содержащий \( x \), и член, содержащий \( x \) в наибольшей степени, после произведения выражения \( (2x-3)^3(x^2+1)^4 \), необходимо сначала раскрыть каждый из множителей.

1. Распишем \( (2x-3)^3 \):

Используем формулу бинома Ньютона:

\[ (2x-3)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (2x)^{3-k} (-3)^k \]

Это расписывается как:

\[ = \binom{3}{0}(2x)^3(-3)^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(-3)^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(-3)^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(-3)^3 \]

Подставляем значения:

\[ = 1 \cdot 8x^3 \cdot 1 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 9 - 27 \] \[ = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 \]

2. Теперь распишем \( (x^2+1)^4 \):

Также используя биномиальную формулу:

\[ (x^2 + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{4-k} \cdot 1^k \]

Это дает:

\[ = \binom{4}{0}(x^2)^4 + \binom{4}{1}(x^2)^3 \cdot 1 + \binom{4}{2}(x^2)^2 \cdot 1^2 + \binom{4}{3}(x^2)^1 \cdot 1^3 + \binom{4}{4}(x^2)^0 \cdot 1^4 \] \[ = 1 \cdot x^8 + 4 \cdot x^6 + 6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^2 + 1 \]

3. Теперь произведем \( (2x-3)^3 \) на \( (x^2+1)^4 \):

Чтобы найти член, не содержащий \( x \), и член, содержащий \( x \) в наибольшей степени, удобно воспользоваться соотношением:

Члены, не содержащие \( x \), будут образованы произведением свободных членов обоих выражений. Свободный член \( (2x-3)^3 \) — это \( -27 \); свободный член \( (x^2+1)^4 \) — это \( 1 \). Таким образом, их произведение:

\[ -27 \cdot 1 = -27 \]

Это и есть член, не содержащий \( x \).

Член, содержащий \( x \) в наибольшей степени, будет образован от каждого множителя с самыми высокими степенями:

\[ (2x)^3 \cdot (x^2)^4 = 8x^3 \cdot x^8 = 8x^{11} \]

Таким образом, итоговые результаты:

• Член, не содержащий \( x \): \(-27\)
• Член, содержащий \( x \) в наибольшей степени: \(8x^{11}\)

Это дает полный ответ на ваш вопрос! Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать.