X²+y²+15>6x+4y

Чтобы решить неравенство x² + y² + 15 > 6x + 4y, начнем с его упрощения.

1. Переносим все члены на одну сторону неравенства: x² + y² - 6x - 4y + 15 > 0.

2. Теперь сгруппируем и упростим: (x² - 6x) + (y² - 4y) + 15 > 0.

3. Чтобы упростить \(x² - 6x\) и \(y² - 4y\), используем метод Completing the Square (дополение до полного квадрата):

   • Для \(x² - 6x\): \(x² - 6x = (x - 3)² - 9\);
   • Для \(y² - 4y\): \(y² - 4y = (y - 2)² - 4\).

4. Подставим эти выражения обратно в неравенство: \((x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + 15 > 0\).

5. Упрощаем: \((x - 3)² + (y - 2)² + 2 > 0\).

Теперь нам нужно понимать, при каких условиях данное неравенство выполняется. Мы видим, что сумма квадратов \((x - 3)² + (y - 2)²\) всегда неотрицательная (так как квадрат любого числа не может быть отрицательным).

Так как \((x - 3)² + (y - 2)² \geq 0\), то: \((x - 3)² + (y - 2)² + 2 > 0\) всегда выполнено, так как добавление 2 делает результат положительным.

Таким образом, неравенство \(x² + y² + 15 > 6x + 4y\) выполняется для всех действительных чисел \(x\) и \(y\).