Реши примеры

Привет! Давай вместе решать примеры. Я помогу тебе шаг за шагом разобраться с заданием.

Итак, у нас есть 6 пунктов, где нужно найти различные тригонометрические функции при заданных условиях. Начнем с первого.

1. Найти \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):

• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \)
• \( \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \)
• \( \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \)
• \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} \)
• \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)

2. Найти \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \):

• \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \left( -\frac{4}{5} \right)^2 + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \frac{16}{25} + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \)
• \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} \)
• \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) Но так как \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \) – вторая четверть, \(\sin \alpha\) положительное, то:
• \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)

3. Найти \( \sin \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \):

• В третьей четверти (где \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \)) \(\sin \alpha\) отрицательное, поэтому:
• \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

4. Найти \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \) и \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \):

• \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \frac{1}{9} + \sin^2 \alpha = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{8}{9} \)
• \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} \)
• \( \sin \alpha = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} \) Но так как \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \) – четвертая четверть, \(\sin \alpha\) отрицательное, то:
• \( \sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)

5. Найти \( \cos \alpha \), если \(\sin \alpha = 0.6\) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):

• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( 0.6^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \cos^2 \alpha = 1 - 0.36 \)
• \( \cos^2 \alpha = 0.64 \)
• \( \cos \alpha = \sqrt{0.64} \)
• \( \cos \alpha = 0.8 \)

6. Найти \( \operatorname{ctg} \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):

• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha + \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} \)
• \( \sin^2 \alpha = \frac{25}{169} \)
• \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} \)
• \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \)
• \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \)
• \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5} \)

Вот и все! Если у тебя будут еще вопросы или что-то останется непонятным, обязательно напиши!