-3x²-x+2>0

Чтобы решить неравенство \(-3x² - x + 2 > 0\), давайте сначала упростим его, умножив на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед \(x²\). Помните, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\[3x² + x - 2 < 0\]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение \(3x² + x - 2 = 0\). Для этого используем дискриминант:

\[D = b² - 4ac\]

где \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -2\).

Подставим значения:

\[D = 1² - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Рассчитаем их с помощью формулы:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляим значения:

\[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}\]

Теперь найдем корни:

1. \(x_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
2. \(x_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)

Теперь у нас есть корни \(-1\) и \(\frac{2}{3}\). Чтобы определить знаки выражения \(3x² + x - 2\), нужно проверить интервалы, которые образуются корнями:

1. \(x < -1\)
2. \(-1 < x < \frac{2}{3}\)
3. \(x > \frac{2}{3}\)

Теперь протестируем каждую из этих областей:

1. Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \(3(-2)² + (-2) - 2 = 12 - 2 - 2 = 8\) (положительно, не подходит).
2. Для \(-1 < x < \frac{2}{3}\) (например, \(x = 0\)): \(3(0)² + (0) - 2 = -2\) (отрицательно, подходит).
3. Для \(x > \frac{2}{3}\) (например, \(x = 1\)): \(3(1)² + (1) - 2 = 3 + 1 - 2 = 2\) (положительно, не подходит).

Таким образом, решение неравенства \(3x² + x - 2 < 0\) — это интервал:

\(-1 < x < \frac{2}{3}\)

Итак, ответ:

\(x \in (-1, \frac{2}{3})\)