X²+x>1

Чтобы решить неравенство \( x^2 + x > 1 \), сначала нужно перенести все части неравенства в одну сторону:

\[ x^2 + x - 1 > 0. \]

Теперь мы можем найти корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 1 = 0 \) с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 1 \), и \( c = -1 \).

Подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \]

Теперь мы знаем, что неравенство \( x^2 + x - 1 > 0 \) меняет знак в корнях. Рассмотрим промежутки:

1. \( (-\infty, x_1) \)
2. \( (x_1, x_2) \)
3. \( (x_2, +\infty) \)

Теперь нужно проверить знак функции \( f(x) = x^2 + x - 1 \) в этих промежутках. Подберем тестовые значения:

1. Для \( x < x_1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f(-2) = 4 - 2 - 1 = 1 > 0 \).
2. Для \( x \) между \( x_1 \) и \( x_2 \) (например, \( x = 0 \)): \( f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0 \).
3. Для \( x > x_2 \) (например, \( x = 2 \)): \( f(2) = 4 + 2 - 1 = 5 > 0 \).

Таким образом, \( f(x) > 0 \) на промежутках:

\[ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty). \]

Это означает, что решения неравенства:

\[ x < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение неравенства! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.