Sin2x + корень 2 sinx=2 sin ( pi/2-x)+ корень2

Для упрощения уравнения \( \sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sqrt{2} \) начнем с преобразования правой части.

Согласно тригонометрической идентичности, \( \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \). Таким образом, уравнение преобразуется в:

\[ \sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2} \]

Теперь воспользуемся формулой для \( \sin 2x \):

\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2} \]

Распределим \(\sin x\):

\[ \sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) = 2 \cos x + \sqrt{2} \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ \sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) - (2 \cos x + \sqrt{2}) = 0 \]

Факторизуем:

\[ (2 \cos x + \sqrt{2}) (\sin x - 1) = 0 \]

Теперь решим это уравнение по частям:

1. \( 2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \)

   \[ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

   Это происходит при \( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \) (где \( k \) - целое число).

2. \( \sin x - 1 = 0 \)

   \[ \sin x = 1 \]

   Это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \).

Таким образом, общие решения для уравнения:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]

где \( k \) - целое число.