(3³)³*5⁷*2² —————– 81²*10⁵

Чтобы решить данное уравнение, давайте сначала упростим каждую часть.

Исходное уравнение: \[ \frac{(3^3)^3 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{81^2 \cdot 10^5} \]

Начнем с упрощения числителя \((3^3)^3\): \[ (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9 \] Таким образом, числитель становится: \[ 3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2 \]

Теперь упростим знаменатель \(81^2\) и \(10^5\): \[ 81 = 3^4 \quad \Rightarrow \quad 81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \] \[ 10 = 2 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5 \] Теперь знаменатель можно записать как: \[ 3^8 \cdot (2^5 \cdot 5^5) = 3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5 \]

Теперь подставим упрощенные части обратно в уравнение: \[ \frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 2^2}{3^8 \cdot 2^5 \cdot 5^5} \]

Теперь можем упростить дробь, вычитая показатели у одинаковых оснований.

Для \(3\): \[ \frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3 \]

Для \(5\): \[ \frac{5^7}{5^5} = 5^{7-5} = 5^2 \]

Для \(2\): \[ \frac{2^2}{2^5} = 2^{2-5} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

Теперь можем собрать всё вместе: \[ 3 \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{8} = 3 \cdot 25 \cdot \frac{1}{8} = \frac{75}{8} \]

Итак, окончательный ответ: \[ \frac{75}{8} \]