Решите дробно-линейное неравенство x(8-x)(12+x)>0

Чтобы решить дробно-линейное неравенство \( x(8-x)(12+x) > 0 \), начнем с определения нулей левой части неравенства. Для этого приравняем произведение к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( 8 - x = 0 \) \(\Rightarrow x = 8\)
3. \( 12 + x = 0 \) \(\Rightarrow x = -12\)

Итак, у нас есть три критических точки: \( -12, 0, 8 \). Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, используя эти точки:

1. \( (-\infty, -12) \)
2. \( (-12, 0) \)
3. \( (0, 8) \)
4. \( (8, +\infty) \)

Теперь рассмотрим знак выражения \( x(8-x)(12+x) \) на каждом из этих интервалов. Мы можем взять тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала \( (-\infty, -12) \), например, \( x = -13 \): \[ (-13)(8 - (-13))(12 + (-13)) = (-13)(21)(-1) > 0 \]
• Для интервала \( (-12, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ (-1)(8 - (-1))(12 + (-1)) = (-1)(9)(11) < 0 \]
• Для интервала \( (0, 8) \), например, \( x = 1 \): \[ (1)(8 - 1)(12 + 1) = (1)(7)(13) > 0 \]
• Для интервала \( (8, +\infty) \), например, \( x = 9 \): \[ (9)(8 - 9)(12 + 9) = (9)(-1)(21) < 0 \]

Мы получаем знаки для каждого интервала:

• \( (-\infty, -12) \): положительный
• \( (-12, 0) \): отрицательный
• \( (0, 8) \): положительный
• \( (8, +\infty) \): отрицательный

Теперь нам нужно учесть, что мы ищем интервалы, где выражение больше нуля. Это происходит в интервалах:

1. \( (-\infty, -12) \)
2. \( (0, 8) \)

Неравенство строгое, поэтому точки \( -12, 0, 8 \) не включаются в ответ.

Таким образом, решение неравенства \( x(8-x)(12+x) > 0 \) будет:

\[ x \in (-\infty, -12) \cup (0, 8) \]

Если у вас есть другие вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то этап, дайте знать!