На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 1 минуту меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 5 5 часов, если первый рабочий обрабатывает за это время на 15 15 деталей больше, чем второй?

Question 1

Задача Задача №1364800

А

Аноним

03 сентября 2024 11:51 · публичный вопрос

А

Аноним 03 сентября 2024 11:51

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 1 минуту меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 5 5 часов, если первый рабочий обрабатывает за это время на 15 15 деталей больше, чем второй?

Answer

Чтобы решить задачу, давайте обозначим время, которое затрачивает второй рабочий на обработку одной детали, как \( t \) минут. Тогда первый рабочий тратит \( t - 1 \) минут на одну деталь.

Теперь мы можем рассчитать количество деталей, которые обрабатывает каждый рабочий за 5 часов (или 300 минут).

Количество деталей, обработанных вторым рабочим: Он обрабатывает одну деталь за \( t \) минут, значит за 300 минут он обработает: \[ \frac{300}{t} \] деталей.
Количество деталей, обработанных первым рабочим: Первый рабочий обрабатывает одну деталь за \( t - 1 \) минут, значит за 300 минут он обработает: \[ \frac{300}{t - 1} \] деталей.

Согласно условию, первый рабочий обрабатывает на 15 деталей больше, чем второй. Это можно записать в уравнении: \[ \frac{300}{t - 1} = \frac{300}{t} + 15 \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( t(t - 1) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 300t = 300(t - 1) + 15t(t - 1) \] Раскроем скобки: \[ 300t = 300t - 300 + 15t^2 - 15t \] Упростим уравнение: \[ 0 = -300 + 15t^2 - 15t \] Переместим все члены в одну сторону: \[ 15t^2 - 15t - 300 = 0 \] Разделим уравнение на 15: \[ t^2 - t - 20 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -20 \): \[ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \] Теперь находим два возможных корня:

\( t = \frac{10}{2} = 5 \)
\( t = \frac{-8}{2} = -4 \) (неподходящий корень)

Таким образом, \( t = 5 \) минут для второго рабочего.

Теперь вычислим время обработки первым рабочим: \[ t - 1 = 5 - 1 = 4 \text{ минуты.} \]

Теперь можем найти количество деталей, которые обработают оба рабочих за 5 часов:

Второй рабочий: \[ \frac{300}{5} = 60 \text{ деталей.} \]
Первый рабочий: \[ \frac{300}{4} = 75 \text{ деталей.} \]

Итак, ответ: Первый рабочий обработает 75 деталей, а второй 60 деталей за 5 часов.

Question 2

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 1 минуту меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 5 5 часов, если первый рабочий обрабатывает за это время на 15 15 деталей больше, чем второй?

Answer

Чтобы решить задачу, давайте обозначим время, которое затрачивает второй рабочий на обработку одной детали, как \( t \) минут. Тогда первый рабочий тратит \( t - 1 \) минут на одну деталь. Теперь мы можем рассчитать количество деталей, которые обрабатывает каждый рабочий за 5 часов (или 300 минут). 1. **Количество деталей, обработанных вторым рабочим:** Он обрабатывает одну деталь за \( t \) минут, значит за 300 минут он обработает: \[ \frac{300}{t} \] деталей. 2. **Количество деталей, обработанных первым рабочим:** Первый рабочий обрабатывает одну деталь за \( t - 1 \) минут, значит за 300 минут он обработает: \[ \frac{300}{t - 1} \] деталей. Согласно условию, первый рабочий обрабатывает на 15 деталей больше, чем второй. Это можно записать в уравнении: \[ \frac{300}{t - 1} = \frac{300}{t} + 15 \] Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( t(t - 1) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 300t = 300(t - 1) + 15t(t - 1) \] Раскроем скобки: \[ 300t = 300t - 300 + 15t^2 - 15t \] Упростим уравнение: \[ 0 = -300 + 15t^2 - 15t \] Переместим все члены в одну сторону: \[ 15t^2 - 15t - 300 = 0 \] Разделим уравнение на 15: \[ t^2 - t - 20 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -20 \): \[ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \] Теперь находим два возможных корня: 1. \( t = \frac{10}{2} = 5 \) 2. \( t = \frac{-8}{2} = -4 \) (неподходящий корень) Таким образом, \( t = 5 \) минут для второго рабочего. Теперь вычислим время обработки первым рабочим: \[ t - 1 = 5 - 1 = 4 \text{ минуты.} \] Теперь можем найти количество деталей, которые обработают оба рабочих за 5 часов: - **Второй рабочий:** \[ \frac{300}{5} = 60 \text{ деталей.} \] - **Первый рабочий:** \[ \frac{300}{4} = 75 \text{ деталей.} \] Итак, ответ: Первый рабочий обработает 75 деталей, а второй 60 деталей за 5 часов.