произведение четырёх последовательных натуральных чисел меньше из которых k больше чем их устроенная сумма

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим четыре последовательных натуральных числа. Пусть первое число будет \( n \). Тогда последующие числа будут \( n+1 \), \( n+2 \) и \( n+3 \).

Теперь найдём произведение этих четырёх чисел:

\[ P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \]

И сумма этих четырёх чисел:

\[ S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 \]

Теперь мы ищем, когда произведение меньше суммы, т.е. нужное неравенство выглядит следующим образом:

\[ n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) < 4n + 6 \]

Для упрощения этой задачи можно рассмотреть различные натуральные числа \( n \) и проверять, при каких значениях это неравенство выполняется.

Попробуем подставить несколько значений для \( n \):

• Если \( n = 1 \):

\[ P = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \] \[ S = 4 \cdot 1 + 6 = 10 \]

Тут \( 24 \nless 10 \).

• Если \( n = 2 \):

\[ P = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \] \[ S = 4 \cdot 2 + 6 = 14 \]

Тут \( 120 \nless 14 \).

• Если \( n = 3 \):

\[ P = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 \] \[ S = 4 \cdot 3 + 6 = 18 \]

Тут \( 360 \nless 18 \).

• Если \( n = 4 \):

\[ P = 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 840 \] \[ S = 4 \cdot 4 + 6 = 22 \]

Тут \( 840 \nless 22 \).

Как видно, произведение четерёх последовательных чисел быстро становится гораздо больше суммы этих чисел. На основании численных проверок можно сказать, что для \( n \geq 1 \) произведение будет всегда больше суммы.

Таким образом, при \( k = n \) утверждение о том, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел меньше их суммы, не выполняется для натуральных чисел, начиная с 1.