Выберите верное значение: Даны векторы: → a ( 2 ; − 4 ; 0 ) , → b ( 3 ; − 1 ; − 2 ) Выберите верные значения m и n , при которых векторы 2 → a − 3 → b , → c ( m + n ; m − n ; 2 ) - коллинеарны. Подсказка Вспомните признак коллинеарности векторов. m = 0 ; n = − 5 3 n = 0 ; m = − 5 3 m = 0 ; n = 5 3 n = 0 ; m = 5 3
Чтобы определить, при каких значениях \( m \) и \( n \) векторы \( 2\vec{a} - 3\vec{b} \) и \( \vec{c}(m+n, m-n, 2) \) коллинеарны, необходимо использовать признак коллинеарности. Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого, то есть существуют такие скаляры \( k \), что один вектор можно выразить через другой:
\[ \vec{c} = k \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}). \]
Сначала найдем вектор \( 2\vec{a} - 3\vec{b} \).
Даны векторы: \[ \vec{a} = (2, -4, 0) \quad \text{и} \quad \vec{b} = (3, -1, -2). \]
Теперь вычислим \( 2\vec{a} \) и \( 3\vec{b} \): \[ 2\vec{a} = 2(2, -4, 0) = (4, -8, 0), \] \[ 3\vec{b} = 3(3, -1, -2) = (9, -3, -6). \]
Теперь вычтем \( 3\vec{b} \) из \( 2\vec{a} \): \[ 2\vec{a} - 3\vec{b} = (4, -8, 0) - (9, -3, -6) = (4 - 9, -8 + 3, 0 + 6) = (-5, -5, 6). \]
Теперь вектор \( \vec{c} \): \[ \vec{c} = (m+n, m-n, 2). \]
Чтобы векторы были коллинеарны, должно выполняться: \[ (m+n, m-n, 2) = k(-5, -5, 6), \] где \( k \) - некоторый скаляр.
Это приводит к системе равенств:
- \( m+n = -5k \)
- \( m-n = -5k \)
- \( 2 = 6k \)
Из третьего уравнения найдем \( k \): \[ k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Теперь подставим значение \( k \) в первое и второе уравнения:
- \( m+n = -5\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{3} \)
- \( m-n = -5\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{3} \)
Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} m+n = -\frac{5}{3} \\ m-n = -\frac{5}{3} \end{cases} \]
Сложим оба уравнения: \[ 2m = -\frac{10}{3} \implies m = -\frac{5}{3}. \]
Затем подставим \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \): \[ -\frac{5}{3} + n = -\frac{5}{3} \implies n = 0. \]
Таким образом, найденные значения: \[ m = -\frac{5}{3}, \quad n = 0. \]
Сравнив с предложенными вариантами, правильный ответ: \[ m = -\frac{5}{3}; \quad n = 0. \]
