Зале кинотеатра 25 рядов. Известно, что в первом ряду 20 мест, а в каждом последующем ряду на одно и то же количество мест больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 15-м ряду, если всего в зале кинотеатра 800 мест?

Для решения этой задачи давайте начнем с определения количества мест в каждом ряду и общей формулы для нахождения общего количества мест в зале кинотеатра.

Обозначим количество мест в первом ряду как \( a_1 = 20 \). Предположим, что в каждом последующем ряду на \( d \) мест больше, чем в предыдущем. Тогда количество мест в \( n \)-ом ряду можно выразить формулой:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

То есть количество мест в 15-м ряду будет:

\[ a_{15} = 20 + (15 - 1) \cdot d = 20 + 14d \]

Теперь нам нужно найти \( d \), зная, что общее количество мест в кинотеатре составляет 800. Общее количество мест можно найти, суммируя места в каждом ряду:

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{25} \]

Это арифметическая прогрессия, и сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии выражается формулой:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

В нашем случае:

\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (20 + a_{25}) \]

Где \( a_{25} = 20 + (25 - 1) \cdot d = 20 + 24d \).

Теперь у нас есть:

\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (20 + (20 + 24d)) = \frac{25}{2} \cdot (40 + 24d) \]

Мы знаем, что общее количество мест равно 800:

\[ \frac{25}{2} \cdot (40 + 24d) = 800 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 25 \cdot (40 + 24d) = 1600 \]

Теперь поделим обе стороны на 25:

\[ 40 + 24d = 64 \]

Теперь вычтем 40:

\[ 24d = 24 \]

И, чтобы найти \( d \):

\[ d = 1 \]

Теперь мы можем найти количество мест в 15-м ряду:

\[ a_{15} = 20 + 14 \cdot 1 = 20 + 14 = 34 \]

Таким образом, в 15-м ряду кинотеатра 34 места.