х⁴-65х²+64=0
Чтобы решить уравнение \( x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \), сначала сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - 65y + 64 = 0 \]
Теперь мы решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -65 \) и \( c = 64 \). Подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{65 \pm \sqrt{(-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ (-65)^2 = 4225 \] \[ 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 \] \[ 4225 - 256 = 3969 \]
Теперь найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{3969} = 63 \]
Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:
\[ y = \frac{65 \pm 63}{2} \]
Находим два значения \( y \):
- \[ y_1 = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64 \]
- \[ y_2 = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь вспомним, что \( y = x^2 \). Значит, мы получаем два уравнения:
- \( x^2 = 64 \)
- \( x^2 = 1 \)
Решим каждое из них:
- \( x = \pm 8 \)
- \( x = \pm 1 \)
Таким образом, все решения уравнения \( x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \) это:
\[ x = 8, \, -8, \, 1, \, -1 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
