(x²-1)(x+3)<0

Чтобы решить неравенство \((x²-1)(x+3)<0\), следуем следующим шагам:

1. Найдем корни: Сначала найдем нули каждого из множителей.
   • Для \(x² - 1 = 0\) мы получаем \(x² = 1\), следовательно, \(x = 1\) и \(x = -1\).
   • Для \(x + 3 = 0\) мы получаем \(x = -3\).

Итак, нули функции - это \(x = -3\), \(x = -1\) и \(x = 1\).

2. Разделим числовую ось: Эти нули разбивают числовую ось на интервалы:

   • \((-∞, -3)\)
   • \((-3, -1)\)
   • \((-1, 1)\)
   • \((1, +∞)\)

3. Определим знак функции на каждом интервале: Теперь проверим знак произведения \((x² - 1)(x + 3)\) на каждом из этих интервалов:

• Интервал \((-∞, -3)\): Выберем, например, \(x = -4\): \(((-4)² - 1)((-4) + 3) = (16 - 1)(-1) = 15 \cdot (-1) = -15\) (меньше 0).

• Интервал \((-3, -1)\): Выберем \(x = -2\): \(((-2)² - 1)((-2) + 3) = (4 - 1)(1) = 3 \cdot 1 = 3\) (больше 0).

• Интервал \((-1, 1)\): Выберем \(x = 0\): \((0² - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3\) (меньше 0).

• Интервал \((1, +∞)\): Выберем \(x = 2\): \((2² - 1)(2 + 3) = (4 - 1)(5) = 3 \cdot 5 = 15\) (больше 0).

4. Подведем итоги: Значения менее 0 на интервалах:

   • \((-∞, -3)\)
   • \((-1, 1)\)

5. Учитываем точки: Мы ищем, где функция меньше нуля, но самих корней в неравенстве не включает. Поэтому:

   • На интервале \((-∞, -3)\) включаем нуль, а на интервале \((-1, 1)\) не включаем.

Таким образом, решение неравенства \((x²-1)(x+3)<0\) записывается как:

\[ (-∞, -3) \cup (-1, 1) \]

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать подобные неравенства! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.