Найдите два соседних натуральных числа , сумма квадратов которых равно 421
Для нахождения двух соседних натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 421, обозначим эти числа как \( n \) и \( n+1 \). Тогда можем записать уравнение:
\[ n^2 + (n + 1)^2 = 421 \]
Раскроем скобки:
\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 421 \]
Соберем подобные члены:
\[ 2n^2 + 2n + 1 = 421 \]
Теперь перенесем 421 в левую часть уравнения:
\[ 2n^2 + 2n + 1 - 421 = 0 \]
Упрощаем:
\[ 2n^2 + 2n - 420 = 0 \]
Чтобы упростить уравнение, разделим всё на 2:
\[ n^2 + n - 210 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 \), и \( c = -210 \):
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210)}}{2 \cdot 1} \]
Считаем дискриминант:
\[ D = 1 + 840 = 841 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ \sqrt{841} = 29 \]
Подставим в формулу:
\[ n = \frac{-1 \pm 29}{2} \]
Решения будут:
- \( n = \frac{28}{2} = 14 \)
- \( n = \frac{-30}{2} = -15 \) (что не подходит, так как мы ищем натуральные числа)
Таким образом, первое натуральное число — это \( n = 14 \), а второе \( n + 1 = 15 \).
Таким образом, два соседних натуральных числа, сумма квадратов которых равна 421, — это 14 и 15.
