Найдите два соседних натуральных числа сумма квадратов которых равна 421

Давайте решим задачу, в которой нужно найти два соседних натуральных числа, сумма квадратов которых равна 421.

Обозначим два соседних натуральных числа как \( n \) и \( n + 1 \). Тогда сумма их квадратов выражается следующим образом:

\[ n^2 + (n + 1)^2 = 421 \]

Раскроем скобки:

\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 421 \]

Получаем:

\[ 2n^2 + 2n + 1 = 421 \]

Теперь вычтем 421 из обеих сторон уравнения:

\[ 2n^2 + 2n + 1 - 421 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 2n^2 + 2n - 420 = 0 \]

Чтобы упростить, разделим всё уравнение на 2:

\[ n^2 + n - 210 = 0 \]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения, которая выглядит так:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 \) и \( c = -210 \). Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 \]

Теперь вычислим корни:

\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 29}{2} \]

Рассмотрим два случая:

1. \( n = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14 \)
2. \( n = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \) (это отрицательное число, оно нам не подходит)

Таким образом, \( n = 14 \). Тогда следующее соседнее число:

\[ n + 1 = 15 \]

Таким образом, два соседних натуральных числа, сумма квадратов которых равна 421, это 14 и 15.