Реши неравенство f(x)=x²-6x+7
Давайте решим неравенство, заданное функцией \( f(x) = x^2 - 6x + 7 \).
Сначала найдем корни уравнения \( f(x) = 0 \). Это делается с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 7 \):
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \]
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня.
Теперь найдем корни с использованием формулы корней:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} \]
Упростим:
\[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Таким образом, корни будут:
\[ x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}, \quad x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2} \]
Теперь мы знаем, что функция \( f(x) \) - парабола, открытая вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положительный). Критические точки находятся в \( x_1 \) и \( x_2 \).
Теперь, чтобы решить неравенство \( f(x) > 0 \), мы определим знаки функции на интервалах, определяемых корнями: \( (-\infty, 3 - \sqrt{2}) \), \( (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \), \( (3 + \sqrt{2}, +\infty) \).
Проверим знак функции в каждом интервале:
Для \( x < 3 - \sqrt{2} \), например, \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 7 = 7 > 0 \]
Для \( 3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2} \), например, \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 < 0 \]
Для \( x > 3 + \sqrt{2} \), например, \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 7 = 25 - 30 + 7 = 2 > 0 \]
Подводя итоги, функция положительна на интервалах \( (-\infty, 3 - \sqrt{2}) \) и \( (3 + \sqrt{2}, +\infty) \).
Таким образом, неравенство \( f(x) > 0 \) выполняется на следующих интервалах:
\[ x \in (-\infty, 3 - \sqrt{2}) \cup (3 + \sqrt{2}, +\infty) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу, не стесняйтесь спрашивать!
