Определите промежуток монотонности f(x)=-x⁵+5x

Чтобы определить промежутки монотонности функции \( f(x) = -x^5 + 5x \), необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = -5x^4 + 5 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -5x^4 + 5 = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ -5x^4 = -5 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm 1 \]

Таким образом, критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

3. Проверим знаки производной на интервалах, заданных критическими точками. Мы будем рассматривать следующие интервалы:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, 1) \)
• \( (1, +\infty) \)

4. Выберем тестовые точки для каждого интервала:

• Для интервала \( (-\infty, -1) \), например, \( x = -2 \): \[ f'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -80 + 5 = -75 \quad (< 0) \]

• Для интервала \( (-1, 1) \), например, \( x = 0 \): \[ f'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 \quad (> 0) \]

• Для интервала \( (1, +\infty) \), например, \( x = 2 \): \[ f'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -80 + 5 = -75 \quad (< 0) \]

5. Сделаем выводы о монотонности:

• На интервале \( (-\infty, -1) \) функция убывает, поскольку \( f' < 0 \).
• На интервале \( (-1, 1) \) функция возрастает, поскольку \( f' > 0 \).
• На интервале \( (1, +\infty) \) функция снова убывает, поскольку \( f' < 0 \).

Таким образом, промежутки монотонности функции \( f(x) = -x^5 + 5x \) можно записать следующим образом:

• Убывает на \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \)
• Возрастает на \( (-1, 1) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь задавать!