(2x-3)³(х²+1)⁴
Чтобы упростить выражение \((2x-3)³(x²+1)⁴\), выполним следующие шаги.
Распишем каждую часть отдельно:
- Начнем с \((2x - 3)^3\). Мы можем использовать формулу бинома Ньютона для установки формулы: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \] В нашем случае \(a = 2x\) и \(b = 3\): \[ (2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3^2) - 3^3 \] \[ = 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 9 - 27 \] \[ = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 \]
Теперь у нас есть \((x^2 + 1)^4\):
- Мы также можем применить формулу бинома Ньютона: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Здесь \(a = x^2\), \(b = 1\), и \(n = 4\): \[ (x^2 + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{4-k} (1)^{k} \] Это дает: \[ = \binom{4}{0} (x^2)^4 + \binom{4}{1} (x^2)^3 + \binom{4}{2} (x^2)^2 + \binom{4}{3} (x^2)^1 + \binom{4}{4} (x^2)^0 \] \[ = 1 \cdot x^8 + 4 \cdot x^6 + 6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^2 + 1 \] \[ = x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1 \]
Объединяем результаты: Теперь необходимо перемножить полученные многочлены: \[ (8x^3 - 36x^2 + 54x - 27)(x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1) \]
Раскрываем скобки: Это довольно большой процесс, и мы можем делать это по одному члену: \[ 8x^3 \cdot (x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1) = 8x^{11} + 32x^9 + 48x^7 + 32x^5 + 8x^3 \] \[ -36x^2 \cdot (x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1) = -36x^{10} - 144x^8 - 216x^6 - 144x^4 - 36x^2 \] \[ 54x \cdot (x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1) = 54x^9 + 216x^7 + 324x^5 + 216x^3 + 54x \] \[ -27 \cdot (x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 1) = -27x^8 - 108x^6 - 162x^4 - 108x^2 - 27 \]
Сложим все полученные результаты: После сложения всех членов получится финальная форма. Убедитесь, что вы упорядочили их по степеням \(x\).
Следовательно, конечный ответ будет в виде многочлена, который вы получите, выполнив все сложения. Если потребуется помощь на каком-то этапе, пожалуйста, дайте знать!
