4x^2-17x+3>-6x^2

Чтобы решить неравенство \(4x^2 - 17x + 3 > -6x^2\), начнем с того, чтобы привести все члены к одной стороне неравенства:

1. Переносим \(-6x^2\) в левую часть: \[ 4x^2 + 6x^2 - 17x + 3 > 0 \]

2. Объединим подобные члены: \[ 10x^2 - 17x + 3 > 0 \]

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы найти решение, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(10x^2 - 17x + 3 = 0\).

Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 10\), \(b = -17\), \(c = 3\).

Подставим значения: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 289 - 120 = 169 \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 10} = \frac{17 \pm 13}{20} \]

Таким образом, получаем два корня:

1. \(x_1 = \frac{30}{20} = 1.5\)
2. \(x_2 = \frac{4}{20} = 0.2\)

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 1.5\) и \(x_2 = 0.2\). Квадратное неравенство \(10x^2 - 17x + 3 > 0\) меняет знак в корнях:

• Выберем промежутки: \( (-\infty, 0.2) \), \( (0.2, 1.5) \) и \( (1.5, +\infty) \).

Теперь нужно определить знак выражения на этих интервалах, подставив значения:

1. Для \(x < 0.2\) (например, \(x = 0\)): \[ 10(0)^2 - 17(0) + 3 = 3 > 0 \]

2. Для \(0.2 < x < 1.5\) (например, \(x = 1\)): \[ 10(1)^2 - 17(1) + 3 = 10 - 17 + 3 = -4 < 0 \]

3. Для \(x > 1.5\) (например, \(x = 2\)): \[ 10(2)^2 - 17(2) + 3 = 40 - 34 + 3 = 9 > 0 \]

Таким образом, мы находим, что неравенство выполняется в интервалах: \[ (-\infty, 0.2) \cup (1.5, +\infty) \]

Это и есть решение неравенства \(4x^2 - 17x + 3 > -6x^2\).