В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 5, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 2√6 Найдите синус угла ABC
В прямоугольном треугольнике ABC, где AC – один из катетов, равный 5, и CH – высота, проведенная к гипотенузе AB, равная \(2\sqrt{6}\), необходимо найти синус угла ABC.
Начнем с того, что длина высоты CH можно выразить через катеты треугольника и гипотенузу. По следующей формуле можно найти висоту:
\[ h = \frac{a \cdot b}{c} \]
где:
- \(h\) – высота,
- \(a\) и \(b\) – катеты,
- \(c\) – гипотенуза.
В нашем случае мы знаем высоту \(CH = 2\sqrt{6}\) и катет \(AC = 5\). Обозначим второй катет \(BC\) как \(b\), а гипотенузу \(AB\) как \(c\). Поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем записать:
\[ c = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + b^2} = \sqrt{25 + b^2} \]
Теперь подставим это в формулу для высоты:
\[ 2\sqrt{6} = \frac{5 \cdot b}{\sqrt{25 + b^2}} \]
Выполним кросс-множение:
\[ 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{25 + b^2} = 5b \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ 24(25 + b^2) = 25b^2 \]
Это можно упростить:
\[ 600 + 24b^2 = 25b^2 \]
Переносим все члены на одну сторону:
\[ 25b^2 - 24b^2 - 600 = 0 \] \[ b^2 - 600 = 0 \] \[ b^2 = 600 \] \[ b = \sqrt{600} = 10\sqrt{6} \]
Теперь мы можем найти гипотенузу \(c\):
\[ c = \sqrt{25 + (10\sqrt{6})^2} = \sqrt{25 + 600} = \sqrt{625} = 25 \]
Теперь, когда у нас есть оба катета: \(AC = 5\) и \(BC = 10\sqrt{6}\), можем вычислить синус угла ABC:
Синус угла ABC определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\[ \sin ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]
Таким образом, синус угла ABC равен \(\frac{1}{5}\).
