при каких значении n равенство НОК ( n; 10)=10 верно?
Чтобы найти значения \( n \), при которых равенство \( НОК(n; 10) = 10 \) верно, давайте вспомним, что такое наименьшее общее кратное (НОК).
Наименьшее общее кратное двух чисел \( a \) и \( b \) можно вычислить по формуле:
\[ НОК(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{НД (a, b)} \]
где НД — наибольший делитель (НОД) чисел \( a \) и \( b \).
В данном случае \( a = n \) и \( b = 10 \). Мы знаем, что НОК равно 10. Значит:
\[ \frac{|n \cdot 10|}{НД(n, 10)} = 10 \]
Умножим обе стороны на \( НД(n, 10) \):
\[ |n \cdot 10| = 10 \cdot НД(n, 10) \]
Сократим обе стороны на 10 (при условии, что \( n \neq 0 \)):
\[ |n| = НД(n, 10) \]
Теперь обратим внимание на то, что НД(n, 10) — это наибольший общий делитель \( n \) и 10. Поскольку 10 имеет делители 1, 2, 5 и 10, это означает, что \( НД(n, 10) \) может принимать одно из этих значений.
Следовательно, \( |n| \) должно быть равно одному из делителей 10. Рассмотрим каждое значение:
- Если \( НД(n, 10) = 1 \), тогда \( |n| = 1 \) (значения: \( n = 1 \) или \( n = -1 \)).
- Если \( НД(n, 10) = 2 \), тогда \( |n| = 2 \) (значения: \( n = 2 \) или \( n = -2 \)).
- Если \( НД(n, 10) = 5 \), тогда \( |n| = 5 \) (значения: \( n = 5 \) или \( n = -5 \)).
- Если \( НД(n, 10) = 10 \), тогда \( |n| = 10 \) (значения: \( n = 10 \) или \( n = -10 \)).
Таким образом, значения \( n \), при которых равенство \( НОК(n; 10) = 10 \) верно, это:
\[ n = 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10 \]
Эти значения удовлетворяют условиям задачи.
