берілген аралықтағы y=f(x) функциясының ең улкен және ең кіші мәндерін есептеңдер 1)y=x⁴- 8x²-9 [-1;3]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) на заданном интервале \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Производная функции поможет определить критические точки, где возможны максимумы и минимумы. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 - 9) = 4x^3 - 16x \]
Решить уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек. Мы можем вынести общий множитель: \[ f'(x) = 4x(x^2 - 4) = 0 \] Это уравнение равно нулю при: \[ 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm2 \]
Ограничения по интервалу. Теперь нам нужно проверить критические точки \( x = 0 \) и \( x = 2 \), а также границы интервала \( x = -1 \) и \( x = 3 \).
Подставить найденные точки в исходную функцию \( f(x) \):
- Для \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \]
- Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9 \]
- Для \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25 \]
- Для \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0 \]
Сравнить значения функции:
- \( f(-1) = -16 \)
- \( f(0) = -9 \)
- \( f(2) = -25 \)
- \( f(3) = 0 \)
На основе этих вычислений, мы можем определить, что:
- Наименьшее значение функции на интервале \([-1; 3]\) равно \(-25\) при \( x = 2 \).
- Наибольшее значение функции на интервале \([-1; 3]\) равно \(0\) при \( x = 3 \).
Таким образом, наибольшее значение \( y \) равно \( 0 \), а наименьшее значение \( y \) равно \(-25\).
