2 sen2x+sinx-1=0

Чтобы решить уравнение \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\), начнем с замены \(\sin x\) на переменную, чтобы упростить выражение. Обозначим \(y = \sin x\). Тогда уравнение становится:

\[ 2y^2 + y - 1 = 0 \]

Теперь можем использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \(a = 2\), \(b = 1\), а \(c = -1\). Подставим значения:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) \] \[ D = 1 + 8 = 9 \]

Теперь мы можем найти корни уравнения, используя формулу корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения \(a\) и \(b\):

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

Теперь найдем два корня:

1. \(y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
2. \(y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)

Теперь у нас есть два значения для \(\sin x\):

1. \(\sin x = \frac{1}{2}\)
2. \(\sin x = -1\)

Теперь найдем соответствующие углы \(x\):

1. Для \(\sin x = \frac{1}{2}\) решение:

   • \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\) где \(k\) — любое целое число.

2. Для \(\sin x = -1\) решение:

   • \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\) где \(k\) — любое целое число.

Таким образом, обобщая, решения уравнения \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\) могут быть записаны в виде:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \]

Это решение для всех целых \(k\). Если будут дополнительные вопросы или понадобится помощь в других темах, обращайтесь!