X²+3x-4≥0

Чтобы решить неравенство \(x^2 + 3x - 4 \geq 0\), нужно сначала найти корни соответствующего уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\).

Для этого можно использовать формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В данном случае, \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -4\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \] \[ D = 9 + 16 \] \[ D = 25 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Найдем их, используя формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим известные значения:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \]

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).

Следующий шаг - определить знаки выражения \(x^2 + 3x - 4\) на интервалах, полученных из корней. Мы рассмотрим три интервала:

1. \(x < -4\)
2. \(-4 \leq x \leq 1\)
3. \(x > 1\)

Теперь подберем тестовые точки для каждого из интервалов:

1. Для \(x < -4\), например, \(x = -5\): \[ (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\text{Положительное}) \]

2. Для \(-4 < x < 1\), например, \(x = 0\): \[ 0^2 + 3(0) - 4 = -4 \quad (\text{Отрицательное}) \]

3. Для \(x > 1\), например, \(x = 2\): \[ 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\text{Положительное}) \]

Итак, неравенство \(x^2 + 3x - 4 \geq 0\) выполняется на интервалах:

1. \((-\infty, -4]\)
2. \([1, +\infty)\)

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \]

Это означает, что для всех \(x\) в этих интервалах неравенство выполняется.