На кружок по математике записались семиклассники и восьмиклассники, всего 21 человек. Количество семиклассников, записавшихся на кружок, относится к количеству восьмиклассников как 5 : 2 соответственно. Сколько восьмиклассников записалось на кружок по математике?

Для решения этой задачи воспользуемся системой уравнений и пропорциями.

Пусть количество семиклассников обозначим как \( x \), а количество восьмиклассников как \( y \).

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

1. Всего записалось 21 человек. Это можно записать как: \[ x + y = 21 \]

2. Соотношение между количеством семиклассников и восьмиклассников составляет 5:2. Это можно выразить уравнением: \[ \frac{x}{y} = \frac{5}{2} \] Отсюда можем выразить \( x \) через \( y \): \[ x = \frac{5}{2}y \]

Теперь подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение: \[ \frac{5}{2}y + y = 21 \]

Объединим \( y \): \[ \frac{5}{2}y + \frac{2}{2}y = 21 \] \[ \frac{7}{2}y = 21 \]

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 7y = 42 \]

Разделим обе стороны на 7: \[ y = 6 \]

Теперь мы нашли количество восьмиклассников, зарегистрировавшихся на кружок, это 6 человек.

Теперь подставим это значение обратно, чтобы найти количество семиклассников: \[ x + 6 = 21 \] \[ x = 21 - 6 = 15 \]

Таким образом, количество семиклассников – 15, а количество восьмиклассников – 6.

Ответ: на кружок по математике записалось 6 восьмиклассников.