Х²-3х-4<0

Чтобы решить неравенство \( х² - 3х - 4 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( х² - 3х - 4 = 0 \).

1. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), и \( c = -4 \).

2. Рассчитаем дискриминант \( D \):

   \[ D = b² - 4ac = (-3)² - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

3. Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:

   \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

   Это даёт нам два корня:

   \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

4. Теперь мы знаем, что квадратный трёхчлен \( х² - 3х - 4 \) принимает значения, равные нулю при \( х = -1 \) и \( х = 4 \).

5. Следующий шаг – определить, где этот квадратный трёхчлен меньше нуля. Мы можем исследовать знаки выражения на промежутках, которые делятся корнями:

   • Интервал \( (-\infty, -1) \)
   • Интервал \( (-1, 4) \)
   • Интервал \( (4, +\infty) \)

6. Проверим знак на каждом из интервалов:

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \), возьмем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)² - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \]
   • Для интервала \( (-1, 4) \), возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0² - 3(0) - 4 = -4 < 0 \]
   • Для интервала \( (4, +\infty) \), возьмем, например, \( x = 5 \): \[ 5² - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \]

7. Таким образом, квадратный трёхчлен \( х² - 3х - 4 < 0 \) в интервале \( (-1, 4) \).

Итак, ответ: неравенство выполняется при \( -1 < x < 4 \).