2•(5³)³•9⁴•4² ———————— 10⁷•3⁶

Чтобы решить выражение \( \frac{2 \cdot (5^3)^3 \cdot 9^4 \cdot 4^2}{10^7 \cdot 3^6} \), давайте сначала упростим числитель и знаменатель.

Шаг 1: Упростим числитель

1. Раскроем степени:

   • \( (5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9 \)
   • \( 9^4 = (3^2)^4 = 3^8 \) (так как \( 9 = 3^2 \))
   • \( 4^2 = (2^2)^2 = 2^4 \)

2. Подставим обратно в числитель: \[ 2 \cdot 5^9 \cdot 3^8 \cdot 2^4 = 2^{1+4} \cdot 5^9 \cdot 3^8 = 2^5 \cdot 5^9 \cdot 3^8 \]

Шаг 2: Упростим знаменатель

Знаменатель можно также выразить через знаимые степени: \[ 10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7 \] Итак, знаменатель будет: \[ 2^7 \cdot 5^7 \cdot 3^6 \]

Шаг 3: Теперь разделим числитель на знаменатель

\[ \frac{2^5 \cdot 5^9 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 5^7 \cdot 3^6} \]

Упрощаем каждую базу:

1. Для \( 2 \): \[ \frac{2^5}{2^7} = 2^{5-7} = 2^{-2} \]

2. Для \( 5 \): \[ \frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2 \]

3. Для \( 3 \): \[ \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 \]

Итак, наше выражение теперь выглядит так: \[ 2^{-2} \cdot 5^2 \cdot 3^2 \]

Шаг 4: Привести к окончательной форме

Теперь преобразуем: \[ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \] Таким образом: \[ \frac{1}{4} \cdot 5^2 \cdot 3^2 = \frac{5^2 \cdot 3^2}{4} = \frac{25 \cdot 9}{4} = \frac{225}{4} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{225}{4} \]