(х-3)(х-4)(х-5)=(х-2)(х-4)(х-5) (1/х-3)²-3/х-3 -4 =0 4х²-9х+12=(х+6)² х³-6х²-4х+24=0 4х⁴+3х²-1=0

Давайте разберём ваши уравнения по порядку.

1. Уравнение: \((x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)\)

   Начнём с упрощения: поскольку \((x-4)(x-5)\) присутствует с обеих сторон уравнения, можем разделить обе стороны на этот множитель, при условии, что \(x \neq 4\) и \(x \neq 5\). Это дает:

   \((x-3) = (x-2)\)

   Теперь решим это простое уравнение:

   \(x - 3 = x - 2 \implies -3 = -2\)

   Это равенство неверно, значит, у уравнения нет решений при \(x \neq 4, x \neq 5\). Но учитывая, что \((x-4)(x-5) = 0\), получаем, что \(x = 4\) и \(x = 5\) являются решениями.

2. Уравнение: \(\frac{1}{x-3}^2 - \frac{3}{x-3} - 4 = 0\)

   Предположим, что \(y = \frac{1}{x-3}\). Таким образом, уравнение превращается в:

   \(y^2 - 3y - 4 = 0\)

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы:

   \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}\)

   Получаем два значения:

   \(y_1 = 4\) и \(y_2 = -1\).

   Теперь, возвращаемся к \(x\):

   1. \(y_1 = 4 \implies \frac{1}{x-3} = 4 \implies x - 3 = \frac{1}{4} \implies x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\)
   2. \(y_2 = -1 \implies \frac{1}{x-3} = -1 \implies x - 3 = -1 \implies x = 2\)

   Таким образом, \(x = \frac{13}{4}\) и \(x = 2\) — решения.

3. Уравнение: \(4x^2 - 9x + 12 = (x + 6)^2\)

   Раскроем скобки:

   \(4x^2 - 9x + 12 = x^2 + 12x + 36\)

   Переносим всё в одну сторону:

   \(4x^2 - 9x + 12 - x^2 - 12x - 36 = 0\)

   Упрощаем:

   \(3x^2 - 21x - 24 = 0\)

   Делим на 3:

   \(x^2 - 7x - 8 = 0\)

   Зафиксируем на дискриминанте:

   \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\)

   Теперь находим корни:

   \(x = \frac{7 \pm 9}{2}\)

   \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -1\), следовательно, решения \(x = 8\) и \(x = -1\).

4. Уравнение: \(x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0\)

   Используем метод деления на множество: можем попробовать \(x = 2\):

   \(2^3 - 6 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 24 = 8 - 24 - 8 + 24 = 0\)

   Это значит, что \(x = 2\) – корень. Теперь делим многочлен на \((x - 2)\):

   Получаем:

   \(x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = (x - 2)(x^2 - 4x - 12)\)

   Решаем \(x^2 - 4x - 12 = 0\):

   \(D = 16 + 48 = 64\)

   Находим корни:

   \(x = \frac{4 \pm 8}{2}\)

   Это дает \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -2\).

   Итак, решения: \(x = 2\), \(x = 6\) и \(x = -2\).

5. Уравнение: \(4x^4 + 3x^2 - 1 = 0\)

   Сделаем замену: \(y = x^2\):

   Тогда у нас получится уравнение:

   \(4y^2 + 3y - 1 = 0\)

   Находим дискриминант:

   \(D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\)

   Решаем для \(y\):

   \(y = \frac{-3 \pm 5}{8}\)

   1. \(y_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
   2. \(y_2 = \frac{-8}{8} = -1\) (это невозможно, так как \(y = x^2\) всегда неотрицательное).

   Теперь вернемся к \(x\):

   \(x^2 = \frac{1}{4}\) значит \(x = \pm \frac{1}{2}\).

Итак, конечные результаты для каждого уравнения:

1. \(x = 4\), \(x = 5\)
2. \(x = \frac{13}{4}\), \(x = 2\)
3. \(x = 8\), \(x = -1\)
4. \(x = 2\), \(x = 6\), \(x = -2\)
5. \(x = \frac{1}{2}\), \(x = -\frac{1}{2}\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!